בנם של שמחה ג'לברט וכמוס ראול. נולד ביום ט' באייר תשט"ו (1.5.1955) בצפת. ילד רביעי במשפחה ברוכת ילדים, אח למרדכי, אריה, יוסף, אליהו, דוד, רפאל, יוחנן, רבקה, אהובה, פנינה ומרים.

יהושע (פרג'י) גדל והתחנך בצפת. מילדות בלט בסקרנות ובשאיפה ללמוד ולהרחיב אופקים. הצטיין בלימודיו בבית הספר היסודי "בירב" ובתיכון העיוני בעירו, שם למד במגמת מתמטיקה-פיזיקה. בכיתה י"א עבר ללמוד בתנאי פנימייה בישיבה התיכונית "מרום ציון" בירושלים.

ביום 21.12.1971 נפל אחיו הבכור, סמל מרדכי פיטוסי שאואט, בעת מילוי תפקידו.

בשנת 1974 התגייס יהושע לצה"ל ושובץ בחיל האוויר. הוא היה שבע רצון מהשירות הצבאי ושאף להתקדם בדרגות.

במהלך השירות נקלע לתאונת דרכים עת נסע כטרמפיסט במשאית צבאית מבסיס "רפידים" שבצפון חצי האי סיני למחנה "צריפין". פציעתו הייתה קשה מאוד.

לאחר שהובהל לבית חולים והתאשפז, נותח כמה פעמים ואחרי כן עבר שיקום ארוך. בשל מצבו השתחרר מצה"ל.

למרות הטלטלה שעבר וההתמודדות המורכבת שמר על חיוניות, אופטימיות ושמחת חיים והתחיל שגרה חדשה עת נרשם ללימודים בטכניון. בחלוף כמה שנים השלים תואר ראשון במסלול הנדסת חשמל.

בתחילת שנות השמונים הכיר את תמר, אחות בבית החולים "שיבא" בתל השומר. הם היו לבני זוג וביום 31.8.1981 נישאו. את ביתם קבעו ברמת גן.

יהושע החל לעבוד בחברת ביטוח, והודות ליכולת ההבעה הגבוהה שניחן בה בכתב ובעל פה עשה חיל בעבודתו. עד מהרה מונה למנהל חיתום בביטוחי חיים בחברה.

בשנת 1999 נולד לו ולרעייתו בן – דורון מרק, שזכה ליהנות מאב אוהב ומסור.

בשל החמרה במצבו הרפואי והצורך בביקורים תכופים בבית החולים, נאלץ יהושע לעזוב את עבודתו. מאז השקיע את כוחותיו בהתנדבות בארגונים למען הקהילה – "המשמר האזרחי" של משטרת ישראל, עמותת "עזר מציון" לסיוע לחולים ולאנשים עם מוגבלויות ועמותה הדואגת להסעת חולים לטיפולים רפואיים ללא תשלום.

את עיקר מרצו השקיע בהתנדבות בארגון נכי צה"ל. במסגרת זו הקים פורום עבור נכי צה"ל לייעוץ ולמידע על זכויותיהם, וכך שימש אוזן קשבת וכתובת למצוקות של נכים בלשכת השיקום במחוז דן. גם לעובדי הלשכה עזר מאוד.

יהושע היה איש חכם ומשכיל, הפגין כישרון, ידע והבנה בתחומים רבים. בורך ברוחב לב ונדיבות, נועם הליכות ואהבת אדם, יושר צניעות וענווה – והודות לאלה התחבב על כל סובביו. כיבד כל אדם והיה הראשון להתנדב לכל משימה. "כל מהותו – ואהבת לרעך כמוך", נכתב עליו. למרות מצבו הרפואי תמיד שמח בחלקו וחי חיים מלאי משמעות.

יהושע (פרג'י) שאואט נפטר ביום ד' בתשרי תש"ע (22.9.2009). בן חמישים וחמש בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בצפת. הותיר אישה ובן, אם, אחים ואחיות.

על מצבתו חקקו אוהביו את הפסוק: "אשרי הגבר אשר תייסרנו י-ה ומתורתך תלמדנו" (תהילים צ"ד, י"ב).