בנם של רחמה וימין. נולד ביום ה' בשבט תשי"ז (7.1.1957) במושב שגב שבגליל המערבי. ילד שלישי במשפחה, אח לשמעון, שולה, יעקב ומאיר.
אברהם (אבי) גדל והתחנך במושב שגב. בגיל שנתיים התייתם מאביו שנפטר בעקבות מחלה קשה.
בהיותו בן שש עבר עם אימו ואחיו לשכונת עתיקות ג' באשקלון, שם גרה המשפחה המורחבת. למד בבית הספר היסודי "מצדה". בלט כתלמיד טוב ופעיל, בהצגה במסיבת הסיום זכה בתפקיד הראשי והציג בכישרון רב.
בשעות הפנאי בילה עם חברים מהשכונה. בחום הקיץ צעד עימם בהליכה ממושכת עד חוף הים בלי שביל או מדרכה, ולאחר מכן התקרר במי הים, גם אם היו סוערים. שם החלה אהבתו הגדולה לים.
בכיתה ט' החל את לימודיו בתיכון "אורט" בעירו. מדי יום הלך לשם ברגל מרחק רב. לא אחת השתובב ועשה מעשי קונדס עם חבריו לכיתה. בשיעורי ההתעמלות הפגין יכולת גבוהה בריצה למרחקים ארוכים ברגליו הדקיקות והקלילות.
כעבור שנה עבר ללמוד בתנאי פנימייה בבית הספר הטכני של חיל הים בחיפה, ושם התמקד בלימודי אלקטרוניקה.
בשנת 1975 התגייס לצה"ל, שובץ בחיל הים והוצב בספינת הטילים "מבטח" בתפקיד טכנאי מכ"ם. בתחילה סבל ממחלת ים והתקשה להסתגל לטלטולי הספינה על הגלים. במסגרת הכשרתו עבר קורס צלילה וצלל בנחל קישון, ולאחר מכן, נוסף על תפקידו הרגיל, צלל כדי לבדוק את תחתית הספינות.
לאחר שירות החובה המשיך לשירות קבע, ובמהלכו הוצב בכמה בסיסים, בהם בית מפעל לציוד אלקטרוני (במצ"א) באילת ואל-עריש, ארז ותל רידאן בצפון חצי האי סיני.
את אורלי, אף היא חיילת בחיל הים, הכיר בשנת 1980. בין השניים ניצתה אהבה, הם היו לבני זוג ובספטמבר 1981 נישאו באולם "בית האזרח" ברמת גן. את ביתם קבעו בכפר סבא.
שני בנים נולדו להם – בן וגל. אבי היה אב מסור ואוהב, הדריך את בניו ולימד אותם את עובדות החיים, הקשיב להם, עודד, צחק עימם, תמך, נתן מענה לכל צורכיהם ומעולם לא חסך מהם דבר.
לאחר שחרורו מצה"ל בשנת 1982 המשיך ללימודים גבוהים בהנדסה. בתום לימודיו הצטרף כטכנאי אלקטרוניקה לשורות חברת "אלישרא" (לימים חטיבה ב"אלביט מערכות") העוסקת בפיתוח ובייצור של מערכות אלקטרוניות מתקדמות. עד מהרה רכש מומחיות בתחום מקורות תדר והיה לטכנאי מוביל במחלקת פיתוח בתחום ה-RF (מיקרוגל). ברבות השנים התמקצע, צבר ניסיון והדריך הנדסאים וטכנאים צעירים רבים. עמיתיו העריכו את פועלו ואהבו אותו.
מתוך אהבתו לטיולים ולטבע לעיתים קרובות ארגן טיולים ברחבי הארץ עם משפחה וחברים, אך יותר מכול אהב את הים – והצליח לסחוף אחריו רבים ממכריו וקרוביו, שנשבו אף הם בקסמי הים ועברו קורס צלילה. מדי שבוע יצא לצלול עם חבריו במועדון "צוללי הדרום" באשקלון, "כדי לנקות את הראש", כדברי רעייתו, ולא אחת יצא גם לצלילות דיג ולצלילות שנורקל בחופי סיני ובים התיכון.
אבי ניחן בקשב לזולת, ידע לגשר ולפשר, ייעץ למי שנזקק ונענה לכל פנייה ובקשה מקרובים ומרחוקים. "לאבי הייתה הרגישות והיכולת לראות ולהבין מה מתחולל בנפשם של אנשים קרובים", תיארה רעייתו. בצניעותו וביושרו לא ביקש דבר מאיש, וכחבר אמת סייע כשחבריו נזקקו לכך. למשל, כשחברו דניאל יצא למילואים, החליף אותו בתפעול העסק. היו לו יכולות גבוהות וכישרונות רבים, כן היה שאפתן, נחוש ודבק במטרה וידע להתבונן במתרחש בראייה רחבה ולטווח רחוק.
בערב פסח תשס"ה, אפריל 2005, בהיותו בן ארבעים ושמונה, אובחן כחולה במחלת הסרטן. הוא הוכר כנכה צה"ל בעקבות הצלילות בנחל קישון המזוהם. במשך שנתיים עבר טיפולים ונאבק במחלה בגבורה רבה. למרות מחלתו המשיך לעבוד בחריצות עד ימיו האחרונים וקידם פרויקט פיתוח שכלל אתגר הנדסי מורכב.
אברהם (אבי) אלבז נפטר ביום ט"ז בשבט תשס"ז (4.2.2007). בן חמישים בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין "נורדאו" בכפר סבא. הותיר אישה, שני בנים, אם, שלושה אחים ואחות.
על מצבתו חקקו אוהביו: "אהובנו אציל הנפש. כרחש הגלים שלוותך, כחוף נסתר צניעותך, כמעמקי הים נתינתך".
בן, בנו הבכור, כתב: "היה לך תפקיד חשוב בעולם ועשית אותו כמו גדול ובכבוד רב ... ידעת ליהנות מהחיים והקמת משפחה לתפארת. הכבוד הרב הזה שכולם חולקים לך מגיע לך, לנשמה הטובה והטהורה שלך. תשמור עלינו. נאהב ונזכור אותך תמיד".
בני משפחתו הקדישו לו ספר זיכרון – "אבי אלבז 1957–2007", ובו דברים לזכרו, תמונות ותיאור תולדות חייו.
הפרויקט שעמל עליו בחברת "אלישרא" ולא זכה לסיימו הוצג בהרצאות שהוקדשו לזכרו בכנס בתל אביב כשלושה חודשים לאחר פטירתו ובכנס עולמי בהוואי שבארצות הברית.
אבי מונצח באתר הצלילה "פרדייז" באילת על ספינת טילים מוטבעת – שם נחקק שמו על מודל של כריש עם שונית אלמוגים בלוויית פסוק מתוך שמות טו, ח: "קפאו תהומות בלב ים". ג'ף, מדריך הצלילה שעיצב את הגלעד בשיתוף עם האח שמעון, הסביר את הבחירה בכריש: "אבי היה כריש ולא קרפיון. יש הרבה מאוד סוגי כרישים, ולא כולם תוקפניים, כך שגם המסוכנים שביניהם אשר תוקפים בני אדם, בורחים מבני האדם. לאבי היה גוף אצילי כשל כריש, ובאבי היו תכונות שדמו לתכונותיו של הכריש: אבי היה מציב לעצמו מטרה והיה חייב להשיג ולהגשים אותה, כשם שהכריש עקשן ודבק במטרה".