בנם של שמחה ומשה. נולד בשנת תרצ"ט (1938) במצרים, בכפר קנה סמוך ללוקסור שעל גדת הנילוס. אח של עזרא, אמה, מזל, רחל, סופי ונעמה.

אברהם גדל והתחנך בקהיר בירת מצרים. נער אחראי ומסור למשפחתו, ליבו רחב ודאגתו לסובביו הייתה רבה.

בשנת 1955, בהיותו כבן שש-עשרה, עלה ארצה עם הוריו ואחותו הקטנה, והמשפחה התאחדה עם האח והאחות הגדולים שעלו קודם לישראל. הם הקימו את ביתם ביישוב אזור, ואברהם השתלב בלימודי תיכון בבית הספר המקומי.

כעבור כשנה וחצי, בהגיעו לגיל גיוס, התגייס לצה"ל ושובץ לשירות בגזרה הדרומית בגבול מצרים, בהמשך השתתף במלחמת סיני (מבצע קדש) בנובמבר 1956. חדור מוטיבציה לתרום למדינה ולממש את יכולותיו ביצע תפקידו נאמנה. חברותי, יצר קשרים חברתיים בקלות. בתום השירות הסדיר, המשיך בשירות מילואים פעיל.

באישיותו היה אברהם יזם, ואחרי השחרור מצה"ל הקים חברה לתרגום סרטים. מוכשר ובעל ידיים טובות, הזמין חלקים מחו"ל והרכיב בעצמו את הציוד הנדרש להפקת כתוביות התרגום. תחום הקולנוע ריתק אותו ובהמשך עבד כמקרין סרטים בשני בתי הקולנוע הסמוכים "מוגרבי" ו"סטודיו" בתל אביב. אוהביו סיפרו: "לאברהם היו המון חברים. כשהיה עובד בקולנוע היה מתקשר לחבריו שיבואו לצפות בהקרנה".

בשנת 1963 נשא לאשה את רג'ין, אותה הכיר דרך משפחתו. השניים חלקו זוגיות אוהבת ומלאת כבוד ופרגון, ואברהם נהג לכנותה "חייאתי" (בעברית - חיים שלי). הקימו את ביתם בתל אביב ובמרוצת השנים נולדו להם שלושה בנים: משה, יעקב ומיכאל. אהב את בניו אהבת נפש והיה אב נוכח ומעורב בחייהם, תמיד נמצא שם בשבילם. מסור וקשוב, דאג להם ושם את רווחתם בראש מעייניו, "אב למופת", תיארה אותו רג'ין.

בשנת 1971, במהלך שירות מילואים באזור הבקעה נפגע בעיניו. הוא טופל בבית החולים בתל השומר, אך הפגיעה ליוותה אותו ובשנים הבאות נאלץ לעבור ניתוחים וטיפולים רבים במטרה להציל את ראייתו. חלק ניכר מהטיפולים עבר בבית החולים "הדסה עין כרם" בירושלים.

גישתו האופטימית וחוסנו הנפשי סייעו לו להתמודד עם מצבו הרפואי, וחשוב היה לו להתנהל עצמאית ללא תלות באחר, להגשים את עצמו וליהנות ממנעמי החיים.

רצונו בעבודה יציבה ובפרנסה טובה הביא אותו לשנות תחום עיסוק, והוא החל לעבוד כמנהל אדמיניסטרטיבי בפקולטה להנדסה ב"אוניברסיטת תל אביב". הצטיין בתפקידו, הפגין יסודיות ויכולת ארגון וסדר טובה.

במהלך השנים ראייתו התדרדרה ובשנת 1984 איבד לחלוטין את מאור עיניו, אז החליט לפרוש מעבודתו. סיפרה רג'ין: "שותפיו לעבודה ומנהליו באוניברסיטה היללו אותו ורצו שיישאר אבל היה לו חשוב להיות נאמן לעצמו ולא להישאר בעבודה שלא יכול היה לתפקד בה באופן מלא".

אחרי פרישתו מצא מקור נחמה וכוח במסורת ובמצוות. כשהתחזק בדת, שירת כגבאי ודאג לתפקוד מופתי של בית הכנסת בו התפלל. הכול הכירוהו כאדם ישר ואמין, והודות לאופיו הנעים והנוח אנשים נהנו משהות במחיצתו. היה אוזן קשבת לסובביו, ידע לתמוך ולתת עצה טובה.

בזמנו הפנוי בילה זמן איכות עם רעייתו. השניים נהגו ללכת יחד לשיעורי תורה, נהנו להעמיק ולצבור ידע.

כיבוד הוריו היווה נר לרגליו, מסור עד מאוד, הקפיד לשמור על קשר הדוק עמם, טיפל וסעד אותם לעת זקנה. קשריו עם אֶחיו היו טובים, הוא דאג להם וביקש את הטוב ביותר עבורם.

אברהם היה אדם מיוחד ורחב לב, האמין בטוב והיווה דוגמה לכל סובביו. כתבו אוהביו: "צלילותו הפנימית, נטולת משוא פָּנים, גרמה לו לראות את האדם מולו, לחוש ולהיות רגיש לסביבתו, וזאת למרות עיוורונו ותמיד עם חוש הומור מפותח, שיודע לצחוק עם אחרים ואף על עצמו".

בשנותיו האחרונות חלה במחלה קשה, והחל לעבור טיפולים למיגורה. שמר על אופטימיות ואמונה, והתמודדותו עם קשיי המחלה הייתה מעוררת השראה.

אברהם כהן נפטר ביום י"ג בתמוז תשע"ח (26.6.2018). בן שבעים ותשע שנים וחצי בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בגבעת שאול, ירושלים. הותיר אחריו אישה ושלושה בנים, נכדים, אחים ואחיות.

ספדה לו רג'ין: "אברהם היה אדם טוב, אהוב, דאג מאוד לסובבים אותו. שם את האהובים עליו בראש סדר העדיפויות שלו. בעל, אב ובן למופת".

בתשע"ו יזם אברהם הכנסת ספר תורה לעילוי נשמת הוריו והורי רעייתו לבית הכנסת שבו נהג להתפלל. אחרי פטירתו בני משפחתו תרמו לזכרו פרוכת לארון הקודש באותו בית כנסת.