בן הזקונים של פיבי ושמעון. נולד ביום כ"ה בטבת תש"ך (25.1.1960) במרוקו. אח לתרז, נינט, אמה, ז'וז'ו, ז'קי (זאקי) ומיכל, ואח למחצה לשארל.

אברהם – אבי בפי כול – היה ילד עדין ורגיש שגמע את העולם בלגימות קטנות. היה קרוב במיוחד לאחותו נינט שפרסה עליו חסותה ולכל אורך חייו שימשה לו עוגן יציב ובטוח.

בשנת 1968, כשהיה בן שמונה, עלתה המשפחה לארץ. מסעם החל בטיסה למרסיי שבצרפת, ומשם הפליגו באונייה. בהגיעם, קבעו את ביתם בשיכון סלע שבנתניה.

אבי החל את לימודיו בבית הספר היסודי "אוסישקין" שבעיר, וסיימם בבית הספר התיכון המקצועי "שפירא". בילדותו ובנערותו ניהל אורח חיים דתי.

בהגיעו לגיל גיוס, בשנת 1978, התגייס לצה"ל, הוצב בחיל השריון ושירת כטכנאי טנקים. מפקדיו תיארו אותו כחייל מקצועי שהיה אהוב על כולם בזכות אישיותו הנעימה והשקטה.

במהלך שירותו נחשף לחומר כימי, ובהתקרב מועד שחרורו מצה"ל לקה במחלת ריאות ממאירה. אחיו ז'קי עמד על כך שיטופל במסגרת הרפואה הפרטית, ואבי קיבל טיפול ניסיוני שגרם לנסיגה משמעותית במחלתו. בהמשך, עבר ניתוח להסרת הגידול הסרטני, והבריא. לימים, הוכר כנכה צה"ל.

משהחלים, פנה ללימודי שמאות רכב – תחום שתמיד גילה בו עניין וכישורים. הוא הוסמך והחל לעבוד בחברת הביטוח "אררט", ולאחר מכן הקים עסק עצמאי לשמאות רכב. שמו הלך לפניו כמקצוען ומומחה מדרגה ראשונה. הוא זכה לביקוש רב הודות לשירות האיכותי שהעניק ללקוחותיו, ורבים ביקשו להיוועץ בו ולקבל את חוות דעתו.

את אסתר פגש אבי במרץ 1991. היכרותם נזקפה לזכות אחותו נינט, שמרגע שהכירה את אסתר הייתה נחושה לשדך בין השניים, ולא השתהתה. "מאז הפגישה הראשונה המשכנו להיפגש," סיפרה אסתר, "אבל רק בפגישה השלישית אבי הודה שהתאהב, ומאז נהג לומר 'אני התאהבתי בך במבט שלישי.'" הצעת הנישואים הגיעה כשלושה חודשים מיום היכרותם, במיקום ובנסיבות מפתיעים: "הוא הציע לי נישואים בזמן שחצינו כביש ראשי בריצה." חגיגת כלולותיהם נקבעה ליום 10 באוקטובר 1991 (10.10), "כי אבי רצה שהכול יהיה 'עשר'." במרוצת השנים נולדו שלושת ילדיהם: חן שמעון, לי אליה ודור יעקב.

אבי, שחייו היו רצופי מאבק, קושי ומכאוב; שגילה נחישות ויכולת התמדה ושהאמין בצדקת הדרך – השיג את הניצחון. הוא ידע להעריך את הזמן הנוסף שקיבל ואת ההכרה שכה נזקק לה, וגמר אומר לפצות את עצמו, את רעייתו ואת ילדיו על כל שעברו. הוא היה אב רך ואוהב שפינק את ילדיו, הרעיף עליהם מתנות וקנה להם דברים וצעצועים בלי סוף – "יותר בשבילו מאשר בשבילם..." סיפרו בחיוך.

כמו בחייו המקצועיים כך גם בתחומי חייו האחרים הציב רף גבוה, וכמי שדגל באיכות וניחן בחוש אסתטי ובטוב טעם תמיד רצה את הטוב ביותר שניתן להשיג. כך, למשל, בטרם רכש פריט חדש, אביזר או מכשיר חשמלי, למד לעומק את הפרטים הטכניים ווידא כי הם עולים בקנה אחד עם אמות המידה שלו. "הוא לא אהב אמצע," הסבירו בני משפחתו, "הוא אהב את הכי טוב שיש." כך השקיע בטיפוח ביתו היפה, הרבה לארח את חבריו הרבים ועשה זאת באהבה גדולה, בנדיבות, ברוחב לב ומכל הלב. בהתאם לרוח שפיעמה בו, של "לטרוף את העולם", תכנן בלהט תוכניות עתידיות, ואפילו כתב במחברת מיוחדת את כל השאיפות והיעדים.

לימים, חזר הסרטן לקנן בגופו. "כילד," סיפרה אסתר, "לא הקריאו לו סיפורי אגדות. באחת מתקופות ההחלמה, בזמן שסעדתי אותו, נהגתי לספר לו את סיפורי הילדות, ובכל פעם מחדש הוא היה מסוקרן ומתוח לדעת מה סוף הסיפור." אבי המשיך לשמור על רוח חיובית, ובתקופת חייו האחרונה אף גילה את חדוות הבישול, למד לכבוש ירקות וחילק את תוצריו למכריו.

בחג שמחת תורה תשס"ב, היה אבי מאושפז בבית החולים. אנשי חב"ד הגיעו לשמחו. אבי נישק את ספר התורה, נרגש ומאושר על הזכות שנפלה בחלקו. לאחר כמה שעות, עצם את עיניו לנצח.

אברהם (אבי) כהן נפטר ביום כ"ג בתשרי תשס"ב (9.10.2001), עם ציון יום הנישואים העשירי שלו ושל רעייתו אסתר. בן ארבעים ואחת היה בפטירתו. הוא הובא למנוחות בבית העלמין "ותיקים" שבנתניה. הותיר אישה, שני בנים ובת, אם, אחים ואחיות.

כתבה אחותו נינט: "אבי, אחי הקטן. איתך לא צריך לדבר או לכתוב, מספיק להסתכל בעיניים ואתה כבר תבין הכול, נסיך שלנו. אתה חסר לנו מאוד. מתגעגעים, אוהבים אותך לנצח."

אבי הונצח ב"בית יד לבנים" בנתניה.