בן חיה וצבי. נולד בשנת תרצ"ח (1938) בקריית חרושת. ילד שני במשפחה, אח ליפה ואשר.
אברהם גדל בקריית חרושת (לימים קריית טבעון), משם עבר עם משפחתו תחילה לכפר חסידים ולאחר מכן לעפולה, בה התחנך. למד בבית הספר היסודי "אוהל מאיר" בעיר ואחרי כן בבית ספר "יזרעאל". כנער החל לעבוד כסוכן מזון, במסגרת עבודתו עבר ממכולת למכולת ומכר מוצרים שונים.
ביום 24.2.1956 התגייס לצה"ל ושובץ בגדוד 101 של חטיבת הצנחנים בחיל הרגלים. לחם במלחמת סיני בשנת 1956 ובכלל זה בקרב המיתלה, וכן השתתף בפעולות התגמול בעקבות פעולות טרור.
באחד הקרבות, בעת ששהה עם צוות לוחמים בנגמ"ש, התכונן המקלען להטיל רימון לעבר כוח מצרי. כדור מצרי פגע בידו המושטת, והרימון התגלגל לתוך הנגמ"ש. אברהם התעשת, תפס את הרימון לפני שהתפוצץ והשליכו החוצה, ובאופן זה הציל את הצוות כולו. על מעשה גבורה זה – "קור רוח בשעת קרב" – קיבל צל"ש (ציון לשבח) מאלוף פיקוד הדרום חיים לסקוב. מפאת צניעותו כלל לא סיפר על כך לבני משפחתו, וזה נודע להם רק אחרי פטירתו.
בשנת 1959 השתחרר מצה"ל וחזר לעסקי מכירת המזון.
את שולמית (שולה) הכיר בבילוי עם חברים כשהייתה סטודנטית לסיעוד בבית הספר לאחיות בעפולה. בדצמבר 1961 הם נישאו, והקימו את ביתם בעפולה.
ביום 13.6.1962 גויס למילואים לאימון צניחה קצר. במהלך הצניחה לא נפתח מצנחו, הוא צנח "צניחת נר" (צניחה ישירה כשמצנח לא נפתח) ונפגע קשה בעמוד השדרה. במשך שנה טופל בבית החולים בתל השומר ואובחן כסובל משיתוק מהמותניים ומטה. רעייתו, אחות במקצועה, טיפלה בו במסירות רבה.
כשהשתחרר מבית החולים עברו בני הזוג לגור בבית הוריו בעפולה. הבית לא היה נגיש לכיסא גלגלים, ואביו התקין מעקה ברחבי הבית כדי שיוכל להתנייד בכוחות עצמו. אף שהרופאים סברו שלא יוכל עוד לקום ולתפקד באופן עצמאי, הוא החל להתנייד באמצעות קביים. בתוך ההתמודדות עם השינויים הגדולים בחייו הגה את האִמרה: "נכות זה מקצוע שלומדים אותו".
בסיוע משרד הביטחון ובנק "הפועלים" התקבל לעבודה כפקיד דואר בבנק. במסגרת תפקידו חילק מכתבים בסניף בעפולה עילית. בבנק איתרו את הפוטנציאל שלו ועד מהרה קודם, השלים תעודת בגרות, עבר קורס בנקאות וסיים תואר ראשון. בחלוף השנים מונה בין היתר למנהל מחלקת הלוואות, יושב ראש ועד העובדים, מנהל סניף ומנהל אזורי, וכיהן בתפקידי ניהול עד פרישתו לגמלאות.
שלוש בנות נולדו לו - סיגל, נירית ואילנית. כאיש משפחה למופת הן היו עבורו בראש סדר העדיפויות, אהב אותן, תמך והאמין בהן וחינך אותן לנחישות, חברוּת, משפחתיות, נתינה, פרגון, אהבה ומסירות. בשל אופי עבודתה של רעייתו, שעבדה במשמרות, הִרבה לשהות עם הבנות בבית וטיפל בהן. הקפיד להשתתף בפעילויות הקשורות אליהן: בוועד ההורים הכיתתי ובליווי טיולים שנתיים של בית הספר ושל תנועת הנוער. כשהיו חיילות, סייע להן בפתרון בעיות בבסיס.
התאפיין בתרומה לקהילה, עשייה למען האחר והקשבה לזולת ואלו היו עבורו ערך עליון. בד בבד עם עבודתו בבנק, התנדב בארגון נכי צה"ל. שימש נציג הארגון בעפולה ובלט בעשייתו ב"בית הלוחם" בחיפה. כל חייו נאבק למען נכי צה"ל: עמל להקמת משרד מסודר עבורם בעפולה, הקים את נבחרת הכדורסל העירונית לנכים בכיסאות גלגלים, סייע לאנשים עם מוגבלויות בשיקום ובשילוב, עזר למשפחותיהם, אירח אותם בביתו וזכה לחתן כמה זוגות. עד כדי כך היה משמעותי בחייהם, שאחדים מהם קראו לילדיהם על שמו. בני משפחתו השתתפו אף הם באופן פעיל באירועים.
היה אדם נחוש ביותר, ומבחינתו ויתור לא בא בחשבון. זה המסר שהעביר לנכים, ורבים מהם הצליחו בחייהם בזכותו. כלוחם צדק שנאבק על זכויות אדם, לא כולם אהבו את דרכו או קיבלו אותה, אך זה לא הפיל את רוחו, התעקש להמשיך בעשייתו והצליח להטביע חותם. הוביל אותו הרצון שלכולם יהיה טוב.
כדברי בתו נירית, הוא היה אריה, ומייצג אותו יותר מכול השיר "בדרכי שלי" (מילים: פול אנקה, תרגום: אריק לביא): "כי מה יש לו, לבן אדם, / רק את עצמו, וזה לא סתם / לומר את מה שבליבו / גם אם כולם תמיד נגדו. / לכן, אני, בדרכי שלי, תמיד הלכתי!" על פועלו למען קהילת הנכים נבחר לאיש השנה של עפולה על ידי מועדון "רוטארי", וכתבה על כך פורסמה בשבועון "לאשה".
עשייתו למען הקהילה התבטאה גם בהתמודדותו ובבחירתו לחבר מועצת העיר בעפולה, בהקמת החברה הכלכלית בעיר ובהיותו נציג נכי צה"ל בטקסי יום הזיכרון בבית יד לבנים ובבית העלמין מדי שנה.
קולו היה קול בס עבה, ובכל מקום שדיבר שמעו אותו. הייתה לו חזות חזקה ומרשימה ונהג במכונית אמריקאית גדולה שמשכה תשומת לב. במפגשים התגלה ליבו הרך, "לב של מרגרינה", כדברי בתו נירית. כשהבחין במצוקה כלכלית של אדם במסגרת עבודתו בבנק, אם לא הצליח לסייע לו במסגרת תפקידו, תרם לו באופן אישי.
אברהם הקדיש שעות פנאי רבות לעיסוק בהכנת מזון. עסק בכבישת זיתים, עיבוד בשר ועישון דגים, ולא פעם גייס את בנותיו לעזור לו בהכנות. לעיתים עשה "עסקאות" עם חבריו – הם הביאו לו זיתים אחרי מסיק, והוא כבש אותם והחזירם מוכנים לאכילה.
היו לו כמה אוספים, בהם בולים, מטבעות, מחזיקי מפתחות ומצלמות. בביתו טיפח אקווריום גדול עם דגי ים, בשל אהבתו לטבע, מים ובעלי חיים. טייל במקומות רבים בארץ ובעולם, למשל בסין, הוואי, הודו וברזיל. המשפחה נהגה לשכור קרוון ולטייל במשך כמה שבועות, ואהבתו לצילום באה אז לידי ביטוי. בהזדמנויות אלה נהנה לבשל בשטח.
משהיה לסב פיתח קשר קרוב עם נכדיו, הִרבה לבקרם ולטייל עימם בג'יפ ברחבי הארץ.
במלאת לו שבעים שנה ביקש לחגוג את יום הולדתו במסיבה גדולה. המסיבה כללה שירה בציבור ואוכל טוב – שני דברים שאהב במיוחד. כל אחד מהאורחים – קרובי משפחה וחברים – בחר שיר המייצג את אברהם והוסיף זיכרון ממנו.
לאורך השנים עבר שני אירועים מוחיים. בעשייתו ובפעלתנותו המשיך עד האירוע המוחי השלישי, שאחריו איבד את עצמאותו. גם כך, עד רגעיו האחרונים הוכיח לכולם שביכולתו להתגבר על הכול.
אברהם מושקוביץ נפטר ביום י"ג בכסלו תשע"ה (5.12.2014). בן שבעים ושש בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בעפולה. הותיר אישה, שלוש בנות, נכדים ונכדות, אח ואחות.
על מצבתו שובצו תשעה לבבות זהב המסמלים את נכדיו, ואוהביו חקקו עליה: "רוחך זורמת בנשמותינו".
אחיו אשר כתב: "אתה היית החייל שלי. הייתי גאה להיות אחיך ולצעוד אחריך ... אני בטוח שעכשיו אתה שוב עומד זקוף, ערני ומלא עוצמה, שר בקולך הרועם, מארח רבים סביב המנגל וכמו תמיד מנהל את כל הסובבים אותך".
במשחק קבוצת הכדורסל בכיסאות גלגלים של עפולה שנערך לאחר פטירתו ענדו השחקנים סרט שחור לזכרו.
לרגל השלושים לפטירת אברהם איגדה המשפחה שירים לזכרו, הספדים ומכתבים לספר זיכרון.