בן מסעודה ויהושע. נולד בשנת תרצ"ט (1939) בעיר החוף קזבלנקה שבמרוקו למשפחה ברוכת ילדים. אח לז'ק (יששכר), ג'איס, ניסים, רפי, רבקה, אניטה, ראשל ואברהם. שמו השני היה זרח, על שם אח נוסף, שנפטר לפני בואו לעולם.

אשר נולד למשפחה מלוכדת וחמה שבה ספג ערכים ציוניים ואת אהבת ישראל. את ראשית חינוכו קיבל בעיר הולדתו, בבית הספר היהודי "אליאנס" של חברת "כל ישראל אחים". חיכה מאוד לעלות לארץ ישראל, וזכה לעשות זאת כנער צעיר בחסות "עליית הנוער", במסגרת קבוצה שהוברחה מקזבלנקה לישראל בתקופה שבה נאסרה העלייה ממרוקו.

בארץ, התאחד עם אחיו הבכור ז'ק, החלוץ שלפני המחנה שעלה עוד קודם לכן. תחילה התגורר אשר במעברה, ואחר כך עבר לשכונת עג'מי ביפו. המשיך את לימודיו בבית הספר "אליאנס" ורכש מקצוע.

זמן מה לאחר בואו עלו לארץ גם הוריו ושאר האחים. הקשר החם והמיוחד בין כולם נשמר גם לאחר שחלק מהאחים היגרו לצרפת.

עם סיום לימודיו, בשנת 1957, התגייס לצה"ל והוצב בחיל ההספקה (כיום: חיל הלוגיסטיקה).

לאחר שחרורו משירות סדיר פתח עם אחיו ז'ק עסק לתפירת נעליים.

בתחילת שנות השישים, בעקבות אחיו שהתגייס למשטרת ישראל, השתכנע אף אשר לעשות כן. הוא התגייס למשטרה, הוכשר כשוטר והוצב בתחנת יפו. עם הזמן התקדם בסולם הדרגות והתפקידים ומונה לאחראי על הרכש. מילא את תפקידו במקצועיות ובמסירות והיה אהוב על כל חבריו השוטרים.

עם פרוץ מלחמת יום הכיפורים, באוקטובר 1973, התייצב מייד ולקח חלק באירועים במסגרת מערך הרכש של משטרת ישראל.

את סוזן, בחירת ליבו, קרובת משפחה רחוקה, הכיר עוד בימי ילדותם במרוקו. משנפגשו מחדש בארץ היה החיבור ביניהם מיידי, ובשנת 1961 נישאו. תחילה התגוררו בבית הוריו שביפו, ולאחר תקופה קנו בית בבת ים.

במרוצת השנים נולדו שלושת ילדיהם – אילנה, נסיה ודוד. אשר היה שותף נאמן לרעייתו בניהול חיי הבית והמשפחה ולקח חלק פעיל במטלות השוטפות, אב מסור ודואג שהרעיף על ילדיו חום ואהבה, מעורב בחייהם וקשוב לצורכיהם. בתו אילנה תיארה כיצד נהג לקחת אותה להופעות שאותן אבטח כשוטר ועל הגאווה הגדולה שחש במדיו הכחולים – גאווה שהנחיל גם לילדיו. "היה לנו קשר מאוד קרוב," סיפרה, "לאבא הייתה חוכמת חיים ואינטליגנציה גבוהה. הוא היה רגיש מאוד והיה אפשר להתייעץ איתו בכל נושא."

אשר היה איש משפחה בכל רמ"ח איבריו וקשור בטבורו למשפחתו הגרעינית. הוריו סמכו על שיקול דעתו והוא ליווה אותם בענייניהם הרפואיים וניהל גם את התחום הפיננסי. שמר על לכידותה של המשפחה ואת החגים תמיד חגגו בביתו. בכל מחלוקת שהתגלתה פנו אליו כדי שישמש כמגשר.

לאורך שנות שירותו הארוכות במשטרה זכה להערכתם של מפקדיו ולהוקרה על עשייתו הרבה ועל תרומתו לייעול תהליכי הרכש בארגון. לימים, החל להתנדב בסניף הישראלי של איפ"א – ארגון השוטרים הבין-לאומי הגדול בעולם העוסק בסיוע הדדי ושבו חברים כארבע מאות אלף שוטרים בשישים ושמונה מדינות. הקדיש רבות מזמנו, מכוחו וממרצו כדי לסייע בנושאי רווחה בארגון, וגם כאן זכה להכרה ולהוקרה.

לאחר יציאתו לגמלאות, רכש עם רעייתו בית בראשון לציון. שנים ספורות לאחר שעברו לביתם החדש התגלתה בגופו מחלת הסרטן. משעוד ועוד שוטרים שעבדו עימו בתחנת יפו חלו אף הם, התברר כי לקו במחלה עקב שירותם במבנה עשוי אזבסט, בלא לדעת כי הם שואפים בקביעות חומרים מסוכנים.

בזכות כוח הרצון וכנגד כל הסיכויים, שרד אשר עשר שנים עם סרטן הלבלב. רעייתו טיפלה בו במסירות רבה ועמדה לצידו. את תקופות ההפוגה, כשמעט התחזק והשתפרה הרגשתו, ניצל כדי לנסוע לבקר את אחיו האהובים שבצרפת. הרבה לבלות בחיק המשפחה, וזכה לחבוק ולהכיר שישה מנכדיו.

אשר אבנעים נפטר ביום י"ט באדר ב' תשס"ג (23.3.2003). בן שישים וארבע בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין שבחולון. הניח אישה, ילדים, נכדים ואחים.

אחרי פטירת אשר נולד נכד שנקרא על שמו – אושרי.