נולד בב' בחשוון תרע"ב 24.10.1911)), בזילופה שבלאטביה. אביו נפטר בהיותו צעיר ויהושע עזר לאימו בפרנסת המשפחה והיה כאב לאחיו הקטנים. הוא היה בין החברים הראשונים בתנועת בית"ר בלאטביה ובשנת 1930 עלה ארצה, התגייס לפלוגות העבודה של בית"ר ושירת בכפר סבא, הרצליה ונתניה. הוא מילא את חובתו במסירות רבה וגם בימים קשים שמר על רוח טובה. לאחר השירות בפלוגות עבד כפועל חקלאי בפרדסי באר יעקב ובמשק קלמניה שליד כפר סבא וכפועל בנין ברמת גן. בימי מאורעות תרצ"ו היה בין ראשוני הנוטרים במשטרת הישובים העבריים והוצב כנוטר באשדוד. באותה תקופה גם הצטרף לארגון הצבאי הלאומי.

כשפרצה מלחמת העולם השנייה התגייס לצבא הבריטי, הוצב בחיל התובלה והועלה תוך זמן קצר לדרגת רב טוראי. הוא התחבב על מפקדיו ופקודיו והיה ידוע בין חבריו בנכונותו לעזור לזולת. בעת שירותו קיים קשר הדוק עם האצ"ל וגייס רבים מחבריו לארגון המחתרת. בכ"ז בניסן תש"ג 1.5.1943)) הפציצו הגרמנים אניה של חיל-התובלה הבריטי שהיתה בדרכה למאלטה. האניה טבעה ובין מאה וארבעים החיילים הארצישראליים שטבעו יחד איתה, טבע גם יהושע אדרי. בן 31 היה במותו.

יהושע מונצח ב"זכרם נצח", ספר הזכרון לחללי הארגון הצבאי הלאומי. בבית הקברות הצבאי שעל הר הרצל בירושלים הוקמה לזכר הנעדרים אנדרטה דמויית אניה ולידה בריכת מים שבקרקעיתה חקוקים שמות הנופלים.

עוד על שירותו בצבא הבריטי:
יהושע אדרי טרוסקינובסקי (Adari Jehoshua), במקור (Troschkinowsky),
מספר אישי בריטי PAL/197, התגייס לצבא הבריטי בינואר 1940.
הוצב בחיל השירותים המלכותי הבריטי 
(R.A.S.C. - Royal Army Service Corps)
לפלוגה Recuiting & Training Coy 68.
מקצועו הצבאי - נהג (Driver).
בהמשך הועבר לפלוגה General Transport 462.
דרגתו בצבא הבריטי טוראי ראשון (L/Cpl. - Lance Corporal).
מקום קבורתו לא נודע.
הונצח ב- BROOKWOOD 1939-1945 MEMORIAL - בריטניה,
Panel 16. Column 1.