בנם של יהודית ואריה. נולד בכ"ג באדר א' תש"ג (28.2.1943) בראשון לציון. אח צעיר לחיה וטובה.

יקותיאל, שנקרא קותי בפי כול, גדל והתחנך בראשון לציון. למד בבית הספר היסודי "חביב" בעיר, ולבחינות הבגרות למד בבית ספר אקסטרני. בילדותו ובנעוריו בילה בפרדסים עם אביו, ועימו גם נהג לרכוב על סוס. לעיתים קרובות ביקר את שכניו הבדואים, והודות לכך התגבשו בו כבוד לזולת והבנה בדבר הצורך בדו-קיום.

בשנת 1961 התגייס לצה"ל ושובץ בחיל ההנדסה הקרבית. לאחר תקופה כלוחם יצא לקורס קצינים, סיים אותו והיה לקצין. בסיום שירות החובה המשיך לשירות קבע.

בשנת 1966, לאחר שחרורו מצה"ל, החל להשלים בחינות בגרות.

עם פרוץ מלחמת ששת הימים ביוני 1967 נקרא לשירות מילואים באזור ירושלים. במהלך המלחמה ואחריה עסק בפינוי מוקשים וכן הוטלה עליו האחריות להסרת הקיר המפריד בין מזרחה של העיר למערבה (עד למלחמה מזרח ירושלים היה בשליטת ירדן) באזור מנזר נוטרדאם. לאחר המלחמה התגייס שוב לשירות קבע בצה"ל, כקצין ההנדסה של חטיבת הבקעה במחנה "אריה".

באותה השנה הכיר בתל אביב את רותי, אחות בבית החולים "תל השומר", ובשנת 1968 נישאו. הם גרו בתל השומר, אך לצורך תפקידו שהה רוב ימי השבוע בבסיס.

לאחר כשנה נולד בנם הבכור אריק. עם שובו של האב הטרי מהחופשה שלקח לרגל הלידה וברית המילה, נקרא לטפל בזירת מטענים בגדר הביטחון שבין ישראל לירדן והחליט לנטרל אותם בעצמו. לאחר שהחל בפעולה, התפוצץ אחד מהם וגרם לפציעתו הקשה. אחרי טיפול מציל חיים של הרופא החטיבתי הובהל לבית החולים "תל השומר", ושם התקשו לזהות את פניו עד שלחש לרעייתו: "קושקוש, אני אוהב אותך".

בעקבות פציעתו עבר ניתוח שבו נאלצו לקטוע את שתי ידיו, חושי הראייה והשמיעה שלו נפגעו מאוד עד כמעט עיוורון. לזרועותיו הותאמו פרוטזות, ותהליך השיקום בבית החולים נמשך כשמונה חודשים. אחריו השתחרר מצה"ל, בדרגת רב-סרן.

במהלך השיקום החל ללמוד אנגלית בשקדנות ובהתמדה. טרם פציעתו נרשם ללימודים אקדמיים מטעם הצבא, והחליט שהנכות לא תשבש את תוכניתו. לאחר שהשתקם, וחרף הקשיים החושיים והפיזיים, החל ללמוד לתואר ראשון במחלקה ללימודי מזרח תיכון ואפריקה באוניברסיטת תל אביב. עם השלמת התואר הראשון הבין שבאקדמיה יזכה להערכה על בסיס הישגיו האישיים ובלי לקבל "הנחות" בשל מצבו, ובחר להמשיך ללימודי תואר שני בהיסטוריה של יבשת אפריקה. את עבודת התזה כתב על אתיופיה.

שני בנים נוספים נולדו לו – קובי ומאור. ההורות הייתה משמעותית וחשובה לו. כששלושת בניו היו צעירים למד בעל פה סיפורים שהקליט כדי שיוכל לספר להם, קיבל את פניהם כשחזרו ממסגרות החינוך, ולפני השינה סיפר להם סיפורים פרי דמיונו.

הִרבה בנסיעות משפחתיות לחו"ל ובטיולים, לימד את הילדים לרכוב על אופניים ורכב עימם על סוסים. כדי להעצים את ילדיו, דרש מהם את המקסימום מחד ומאידך הרעיף עליהם חום, רגש ואהבה. היה תמיד נגיש וקשוב. בנו מאור כתב: "תמיד היית שם – לעזור בבית הספר, לתת עצה טובה, חיבוק טוב", וכתב הבן קובי: "הוא גם היה חבר שיכולנו לדבר איתו על הכול. העולם המלא שלו כאיש אשכולות, האהבה למחקר והיסטוריה, החשיבה הגלובלית והאהבה למדינה ולאנשים נגעה בכל אחד מאיתנו".

קותי היה בן זוג רומנטיקן וכתב לרעייתו מכתבי אהבה, קנה לה זר פרחים מדי יום שישי והילל ושיבח אותה בכל הזדמנות. כשעלה לבמה לנאום או להודות, תמיד הזכיר אותה כמי שבלעדיה לא היה מגיע להישגיו.

הייתה לו היכולת והעוצמה להניע אחרים למטרותיו ובמקביל לתת להם הרגשת שותפות, ולכן הצליח לגייס לטובתו אנשים עם יכולות טכניות שסייעו לו במציאת פתרונות ייחודיים לקיום אורח חיים רגיל ויציב. אף שהיה תלוי בהמצאותיהם וברעיונותיהם, לא שידר נזקקות אלא כיוון והנהיג אותם על פי צרכיו ועל פי יוזמותיו.

מאחר ששאף למצוינות אקדמית, נרשם ללימודי דוקטורט באוניברסיטה העברית בירושלים. את עבודת הדוקטור סיים בהצטיינות בשנת 1982, בנושא ההיסטוריה של ליבריה. במדינה זו שהה כשלושה חודשים לעבודת שטח במסגרת המחקר, שכללה חקר שבטים אפריקאיים, ובמסגרת מחקרו טבע את המושג "קולוניאליזם שחור". עם משפחתו נסע לפוסט-דוקטורט באוניברסיטת סטנפורד שבקליפורניה, ובהמשך נסע עם המשפחה שלוש פעמים לשנות שבתון בארצות הברית במסגרת עבודתו.

בחלוף השנים התקבל לסגל אוניברסיטת תל אביב והחל ללמד. בשנת 1995 מונה לפרופסור חבר, מאז ועד שנת 2004 עמד בראש החוג ללימודי המזרח התיכון ואפריקה, וב-2007 מונה לפרופסור מן המניין. הסטודנטים שלו, כעדותם, נדרשו לרמה גבוהה בהתאם לסטנדרטים שאפיינו אותו. בשנת 2008 פרש לגמלאות כפרופסור אמריטוס.

בשנים 2001–2002 כיהן במסירות, בתשוקה ועם חזון כנשיא האגודה הבין-לאומית ללימודי ליבריה, ולאורך השנים שימש עמית מחקר ומרצה אורח באוניברסיטאות סטנפורד, בוסטון ואינדיאנה. ערך את כתב העת "המזרח החדש" של האגודה הישראלית ללימודי המזרח התיכון והאסלאם, פרסם עשרות מאמרים וחיבר שלושה ספרים. בשנת 2010 קיבל תואר דוקטור של כבוד מאוניברסיטת בן-גוריון בנגב. בנימוקים להחלטה הודגשו הישגיו האקדמיים, ההתמודדות עם הנכות הקשה, ההתמדה והנתינה לקהילה.

ספורט היה חלק בלתי נפרד מחייו מאז פציעתו, וגם בתחום זה שאף למצוינות ולהישגים גבוהים. ב"בית הלוחם" בתל אביב שיחק כדורשער (משחק כדור המיועד לעיוורים וללקויי ראייה), רץ למרחקים ארוכים ורכב על אופניים. עד מהרה השתלב כמתחרה מקצועי בתחומי הריצה והקפיצה לרוחק, זכה במרוצים – בכלל זה במרתון – ובשנות השמונים של המאה העשרים ייצג את ישראל בשלוש אולימפיאדות נכים בהן זכה בשלוש מדליות כסף ובשתי מדליות ארד. גם אל ענף הסקי התחבר, ובסוף שנות החמישים לחייו התחיל לתרגל טאי צ'י באופן אינטנסיבי, הן מתוך צורך בריאותי והן מצורך מדיטטיבי. תחום זה העניק לו חיוניות ותחושת ערך החיים.

קותי רצה לחוש חלק מהחברה הכללית אך גם ידע לייצג את ציבור הנכים. הוא העביר הרצאות מעצימות בעמותת "מילבת" הפועלת למען אנשים עם צרכים מיוחדים, ב"בית לוינשטיין" ובבתי ספר, גייס תרומות, שמר על קשר עם אנשים נכים רבים ועודד אותם ללמוד באקדמיה.

מנכדיו שאב הנאה מרובה. מאחר שידע להתאים עצמו לבני שיח בכל גיל, הם ניהלו עימו שיחות מרתקות, ויחד למדו ובילו בנסיעות ובטיולים. בנו קובי כתב: "הוא ידע לתת לנו – הילדים והנכדים שלו – את החיבוק הכי חזק שיכולנו לקבל, להקשיב לנו ולשמוע ולהכיר אותנו הכי טוב שיש, ולראות אותנו מעבר למה שאדם רגיל כנראה לא יכול בכלל לראות".

במרוצת השנים התחבר לדת והצטרף לקהילת בית כנסת ברמת השרון. לקראת בר המצווה של נכדו לימד אותו את ההפטרה, כולל הפרשנות לסיפור שמאחורי המילים.

חייו נעו על ארבעה צירים מרכזיים: משפחה - ספורט - אקדמיה - רוחניות. לכל אורכם הגבילה אותו נכותו, אך במקביל הניעה אותו להמשיך הלאה, העצימה אותו והעניקה לו אנרגיה חיובית. ניחן באהבת אדם, בצניעות ובחוש הומור מפותח גם בנוגע למצבו. אומץ, הרפתקנות ועצמאות אפיינו אותו, כך גם סקרנות ופתיחות לחדשנות, והוא ידע ליהנות מהחיים.

יקותיאל (קותי) גרשוני נפטר ביום ה' באב תשפ"א (14.7.2021). בן שבעים ושמונה בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין מורשה ברמת השרון. הותיר אישה, שלושה בנים, נכדים ואחות.

בנו קובי כתב: "הצמחת משפחה שידעה מהו סוד החיים. נמשיך את דרכך עם אצילות הנפש, החמלה וראיית האחר תוך כדי המשך ההגשמה העצמית".

עמיתתו גליה כתבה: "השנים לצידך לימדו אותי מהי התמדה ועקשנות, חריצות, מחויבות לסטודנטים, ועד כמה מילה טובה ותמיכה יכולות לסייע גם למתקשים ביותר. אבל בעיקר קותי היווה מבחינתי את הדוגמה שגם בתחום הנחשב לאזוטרי באקדמיה יש עניין וסיפוק וחוויות שמעטים זוכים להם ... בתוך בליל המושגים שלימדת אותי לאורך השנים, אמשיך לחקור ולחשוב וליצור ולטייל ולחייך ולצחוק, כי גם את זה לימדת אותי, קותי. מורה אמיתי. איש יקר".

באנציקלופדיית הרשת ויקיפדיה יש ערך על קותי. לזכרו התקיימו ימי עיון באוניברסיטת תל אביב ובכנס בארצות הברית, שם הוזכר כ"מספר אחת" בתחום, כָּאב המייסד וכייחודי בדרך המחקר שלו.