בנם של פסיה ויוסף. נולד ביום י"ד בתשרי תרפ"ח (10.10.1927) במושב חרות.
עמרם גדל והתחנך במושב חירות. תחילה, למד בבית ספר יסודי ביישוב תל מונד הסמוך, אליו נהג לרכוב מדי בוקר על חמור. בתיכון למד בבית הספר החקלאי "מקווה ישראל" הסמוך לחולון.
כנער, היה ספורטיבי וחזק מאוד, והתאמן בין היתר בזריקת כדור ברזל. קרוביו סיפרו שהיה יפה כמו כוכב קולנוע, אהוב מאוד, בעל חוש הומור משובח ורוח שטות שובבה. לא פעם נהג למתוח את חבריו והיה ידוע בתעלוליו הספורטיביים שהדהימו את כולם. כך, נהג לעשות עמידת ידיים על מעקה הבריכה של בית הספר, ולהקיף את כולה כשהוא עומד על ידיו.
אחרי סיום הלימודים הצטרף לארגון "ההגנה", שירת כנוטר וסייע בהגנה על היישוב היהודי בארץ.
ב-1948, עם הכרזת המדינה ופרוץ מלחמת העצמאות, התגייס לצה"ל ושירת בגדוד 81 (לימים 89) גדוד הקומנדו שהקים משה דיין.
באחת הפשיטות שביצע הגדוד, התנדב עמרם למשימת ריגול, במהלכה נורה על ידי צלף ירדני ונפצע באורח קשה.
עמרם פונה לבית החולים "תל השומר" ברמת גן, כשהוא סובל מפגיעות פנימיות ומשיתוק בפלג גופו התחתון. במהלך השיקום, הצליח להדהים את הרופאים – הוא ביקש שיתקינו לו מוט מעל המיטה, השתמש בו כדי להרים את עצמו, עשה עמידת ידיים על הכיסא הצמוד למיטה והתקדם אל המסדרון תוך הזזת הכיסא עם הידיים, כשרגליו באוויר.
בהמשך, בנחישות ובהתמדה, לימד את עצמו ללכת באמצעות קביים, ומאוחר יותר הצליח ללכת למרחקים קצרים גם ללא קביים, רק בעזרת הישענות על מקל. מכריו ורופאיו ראו בו גיבור, סמל להתגברות על כל מכשול. גם לאורך השיקום הממושך, שארך כשנתיים, מעולם לא התלונן, שמר על חוש ההומור האופייני לו וביצע מתיחות גם על הצוות הרפואי, שאהב אותו מאוד.
לאחר השיקום הכיר את נעה, שהייתה אמורה לצאת עם אחיו, אריק. אריק הזמין את עמרם להצטרף לפגישה בידיעה שנעה תזמין גם היא חברה, אך לבסוף עמרם ונעה הם אלה שהתאהבו.
ב-1955 הם התחתנו, הקימו בית במושב חירות והביאו לעולם שלושה ילדים – מיכל, ארנון וגיא.
עמרם עבד כנהג מונית למשך זמן קצר, אך למרות שאהב מאוד לנהוג, העבודה לא התאימה לו.
במקום זאת, נטע עם נעה פרדס במושב ובהמשך, הקימו גם לול עופות. עבור עמרם, שאהב מאוד את עולם החקלאות, הייתה זו הגשמת חלום, והוא נהנה מאוד מהעבודה במשק.
בזמנו הפנוי אהב מאוד לשחק שח ולצאת לדייג. הוא היה הרפתקן, העריך אנשים חכמים והעריץ את צה"ל. גם כאדם בוגר, לא הפסיק להשתעשע במתיחות. באחד הימים התקשר לחבר, התחזה לנציג של מס הכנסה והודיע לו שהוא חשוד בהעלמת מס. במקרה אחר, סיפר לשכן שעקר בטעות כמה מהעצים שלו. החברים למושב נהנו מההומור שלו, אהבו אותו מאוד ורחשו כלפיו הערכה והערצה.
לאורך כל חייו שמר עמרם על אורח חיים ספורטיבי ואף ייצג את ישראל בתחרות חץ וקשת במשחקים הפאראלימפיים בברצלונה ב-1992.
בשנותיו האחרונות, חלה הדרדרות במצבו הרפואי והוא התקשה לשמור על האנרגיות האופייניות לו. הרגעים בהם היה מאושר ביותר באותה התקופה, היו כשנכדיו ביקרו אותו.
באוקטובר 2004, אחרי שנים ארוכות של התמודדות עם השלכות הפציעה, הלך עמרם לעולמו.
עמרם זילברמן נפטר ביום כ"ט בתשרי תשס"ה (14.10.2004). בן שבעים ושבע בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בתל מונד. הותיר אחריו אישה, בת ושני בנים, אחים ואחות.
עמרם מונצח באתר מרכז התיעוד של גוש תל מונד.
בוויקיפדיה נכתב ערך על שמו.