בנם הבכור של ויזורקה ושלמה. נולד ביום י"ב בתשרי תרצ"ו (9.10.1935) בסופיה, בירת בולגריה. אח לאברהם.

רחמים – שכינויו בפי אוהביו היה רימי – גדל והתחנך בבולגריה.

בשנת 1949, לאחר שחגג את בר המצווה, עלה לארץ עם משפחתו והם הקימו את ביתם במושב תלמי יחיאל שבמועצה האזורית באר טוביה – מושב שזה מקרוב הוקם בידי עולים מבולגריה ומרומניה. המשפחה החזיקה משק חקלאי ורחמים סייע להוריו בהפעלתו.

בשנת 1954 התגייס לצה"ל, הוצב בחיל הרגלים והחל את מסלול הלוחם המפרך בגדוד 101 ("פתן") של חטיבת הצנחנים.

ב-29 ביולי 1954, בטקס גילוי אנדרטה שנערך בקיבוץ מעגן שבעמק הירדן לזכר צנחן שנהרג, ניצב באחת השורות האחרונות של משמר הכבוד. במהלך הטקס אירע אסון, מטוס התרסק על הקהל ונהרגו שבעה-עשר איש ובהם מיחידתו של רחמים, אך הוא יצא ללא פגע הודות למיקומו.

רחמים השלים את ההכשרה והיה ללוחם וצנחן. באחת מצניחותיו נפצע, ושמיעתו נפגעה.

לאחר שחרורו מצה"ל התגייס למשטרת ישראל. תחילה שימש מסגר, אך במהרה קוּדם לתפקיד רס"ר מחנה המטה הארצי ביפו ששכן ברחוב סלמה. במסגרת תפקידו שימש אחראי על כל מִנהלות היחידה. הוא אהב את עבודתו, השקיע בה את כל מרצו והתגאה במדיו. לימים, הוענק לו אות הצטיינות כהערכה על מסירותו ואופן תפקודו.

את סופיה, בחירת ליבו, פגש בעקבות היכרות משפחתית. השניים נישאו ב-24 במרץ 1961 וקבעו את ביתם בשכונת תל כביר (כיום: נווה עופר) שבתל אביב. עליזה, בתם הבכורה, נולדה בסוף אותה שנה. שמונה שנים הפרידו בינה לבין רחל, בתם השנייה, וכעבור שנה הצטרף בן הזקונים שלמה. "רחמים היה בן זוג נהדר ואב טוב ודואג," סיפרה רעייתו, "בכל בוקר השכים קום לעבודתו במשטרה, ולא יצא מהבית לפני שהעיר אותנו עם חתיכת שוקולד לתוך הפה, כדי שיהיה לנו יום מתוק."

טובת משפחתו ניצבה תמיד לנגד עיניו ופרנסתה הייתה בראש מעייניו. רחמים עבד ללא לאות כדי שלא יחסר לרעייתו ולילדיו דבר, ובימי השבת אף קיבל על עצמו לעבוד בעבודת שיטור נוספת במגרשי כדורגל.

בתחילת שנות התשעים לקה במחלת ריאות, ונאלץ להשתחרר משירותו במשטרה. במשך שבע שנים התמודד בגבורה עם השלכות המחלה ועם תופעות לוואי קשות שגרמו התרופות שנאלץ ליטול. בראשית שנת 1997 קרסו מערכות גופו, והוא הלך לעולמו.

רחמים אשכנזי נפטר ביום ד' בשבט תשנ"ז (11.1.1997), והוא בן שישים ואחת. הובא למנוחות בבית העלמין בחולון. הותיר רעיה, שתי בנות ובן ונכד. על מצבתו חקקו אוהביו את המילים "הישר באדם, אהבת את כולם וכולם אהבוך. יהי זכרך ברוך".