בנם של הדרה וגדעון. נולד ביום ד׳ באייר תשי״ט (12.5.1959).
רמי גדל בקיבוץ כפר גלעדי בצפון, נוף ילדותו שהטביע בו את אהבת הארץ. בכיתה ב' עבר עם משפחתו לירושלים, שם למד בבית הספר היסודי בבית הכרם ובהמשך בבית הספר התיכון "ליד האוניברסיטה" (ליד"ה).
כנער כריזמטי ואוהב אדם, היה פעיל בתנועת הנוער העובד והלומד ואף הדריך דורות צעירים כבוגר קורס מד"צים (מדריכים צעירים). רמי בלט בחיבתו לספורט ולרכיבה על סוסים.
בשנת 1978 התגייס לצה"ל ושירת כלוחם בחטיבת הנח"ל. בזכות נתוניו המרשימים והישגיו, אותר לקורס טיס ועבר בהצלחה את שלבי המיון. לאחר כשנה בקורס, נאלץ להפסיק את הכשרתו בשל שברי מאמץ, וחזר לשירות קרבי מלא בנח"ל.
עם שחרורו, הצטרף כחבר לקיבוץ אייל באזור השרון והחל לבנות את עתידו.
בשנת 1981 החל רמי לימודי הנדסת מכונות בטכניון בחיפה.
עם פרוץ מלחמת שלום הגליל בשנת 1982, נקרא לשירות מילואים ביחידתו ולחם בגזרה המזרחית בדרום לבנון.
ביום השישי ללחימה, בשעות האחרונות טרם הפסקת האש, נחת פגז ליד סמל רמי קייך ואחריו נשלח לעברו צרור יריות. כדור אחד פגע בו בעמוד השדרה. הוא נותח בשטח ופונה במסוק במצב אנוש לבית החולים "רמב"ם". משם החל מסע שיקום ממושך בבית החולים "תל השומר".
הפציעה הותירה את רמי משותק מחזהו ומטה, כשהוא מרותק לכיסא גלגלים. למרות השבר הפיזי, אופיו האופטימי ורוחו האיתנה לא אפשרו לו להיכנע. הוא נאלץ לנטוש את לימודי ההנדסה, אך בחר בנתיב של טיפול, והשלים תואר ראשון בפסיכולוגיה באוניברסיטה העברית ותואר שני בפסיכולוגיה שיקומית באוניברסיטת בר-אילן, תוך שהוא מתמחה בנוירו-פסיכולוגיה בבית החולים השיקומי "בית לוינשטיין".
רמי לא נתן למגבלה לעצור את חיוניותו: היה שחיין תחרותי בבית הלוחם בתל אביב, זכה בפרסים והשתתף בנבחרת המרוצים בכיסאות גלגלים.
בבית הלוחם הכיר את אהבת חייו, יעל, שעבדה כמדריכת הידרותרפיה. השניים נישאו בשנת 1994 והקימו את ביתם בירושלים. רמי היה אב סבלני ונוכח לארבעת ילדיו: אחינועם, עתליה והתאומים הלל והדס.
אישיותו של רמי הייתה פסיפס של כישרון ועומק: איש שיח מרתק, חכם ועניו, שאהב מוזיקה קלאסית, קרא ספרים בשקיקה וניחן בכישרון לציור ולרישום דק.
סיפורו האישי אף נתן השראה להקמת החווה לרכיבה טיפולית בארץ, לאחר שהקשר המיוחד שלו עם הקהילה היהודית באנגליה הוביל להטסת סוסה מיוחדת עבורו. סיפור גבורתו של רמי הונצח בסרט התיעודי ״שתי החלטות״ בבימויו של יוסי גודארד, המביא אל המסך את מסע השיקום של רמי בחוות הרכיבה הטיפולית. הסרט ניתן לצפייה ברשת - youtube.com/watch?v=hKfGzY0UYSM
רמי הקדיש את חייו המקצועיים לשיקום אחרים, כפסיכולוג בבית החולים ״בית לוינשטיין״ ולאחר מכן בבית החולים "שערי צדק". הוא הוכיח במעשיו יום-יום כי הנפש חזקה מכל מגבלה גופנית, וחי חיים של מיצוי, הגשמה ונתינה עד תום.
בנוסף, זכה רמי למחווה מרגשת מחברו לכיתה, איש התקשורת יואב גינאי, שהקדיש לו תוכנית רדיו מיוחדת ברשת ג'. בתוכנית זו נשזר סיפור חייו של רמי במוזיקה שאהב, והיא עמדה כעדות לאדם המרתק, החכם והצנוע שהיה.
רמי קייך נפטר ביום ו׳ בחשוון תשס״ו (8.11.2005). בן ארבעים ושש בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין הר המנוחות בירושלים. הותיר אחריו אישה וארבעה ילדים, הורים ואחים.
על מצבתו כתבו אוהביו (על פי "למדני אלוהי", לאה גולדברג): "למד את שפתותי ברכה ושיר הלל, לבל יהיה יומי הרגל".