בנם של דוד וציפורה. נולד ביום ג' בתמוז תרפ"ח (21.6.1928) בכפר יחזקאל.

שלמה גדל והתחנך בכפר יחזקאל, מושב בעמק יזרעאל שהוריו היו בין מייסדיו. מגיל צעיר סייע להוריו בעבודות המשק, במטעי ההדרים ובחליבת הפרות.

שלמה היה ילד חזק מאוד ובלט באומץ ליבו ובאופיו הנחוש.

בביתו ספג חינוך ציוני, וכבר מנעוריו התעניין בהיסטוריה של ארץ ישראל ובהיסטוריה צבאית והרבה בקריאת ספרים בנושא. עוד התעניין בגיאוגרפיה ובספרות, ובזכות זיכרונו המעולה זכר ספרות, שירה ותנ"ך בעל פה.

כנער לקח חלק בפעולות ההגנה על הארץ במסגרת ארגון "ההגנה", וכשבגר הוכשר להיות לוחם ומפקד כיתה. עם הקמתו של צה"ל הצטרף לחטיבת "גולני".

בשנת 1949 החל קורס קצינים, ולאחר שסיים אותו בהצלחה הצטרף בשנת 1950 לסיירת גולני בפיקודו של אריאל שרון. הוא היה מפקד מחלקה ובנוסף על כך אחראי על תחום השדאות של הסיירת.

בשנת 1952 עזב את הצבא ושב למשק הוריו שבכפר יחזקאל, אך שנה לאחר מכן נקרא על ידי אריאל שרון לשוב לשירות.

בחודש אוגוסט 1953 החל, יחד עם אריאל שרון, בהקמתה של יחידה 101, יחידת קומנדו מיוחדת, שבה שימש סגן המפקד. הוא היה שותף בעיצוב תורת הלחימה של היחידה, בבניית תוכנית האימונים שלה ובאימון החיילים. נוסף על כך עסק בחקר אירועים ובהפקת לקחים, דבר שכמעט לא היה קיים עד אז בצה"ל. היחידה התמקדה בפעולות תגמול, כמענה לחדירות רבות של מסתננים (פדאיון) מירדן ומרצועת עזה לישראל.

בחודש ינואר 1954 פורקה יחידה 101 ושולבה בגדוד הצנחנים 890. שלמה מונה למפקד פלוגה ב' בדרגת סרן, ובתפקידו זה לחם בשנת 1956 במבצע קדש.

בשנת 1963 לקה שלמה בהתקף לב והשתחרר מהשירות. אך ארבע שנים אחר כך, במלחמת ששת הימים, השתתף בלחימה כקצין מבצעים של אוגדה 84 ("אוגדת הפלדה") בפיקודו של האלוף ישראל טל. אוגדה 84 הייתה אחת משלוש אוגדות שהוצבו בחזית הדרום, והייתה הראשונה שהבקיעה את המערך המצרי בגזרת צפון סיני וכבשה חלקים נרחבים מצפון סיני.

בתום מלחמת ששת הימים שב שלמה לשירות קבע. הוא עבר מסלול הסבה לשריון, ובשנת 1968 מונה למפקד פלוגת הסיור של חטיבה 7. בספטמבר 1969, במהלך מלחמת ההתשה, היה שותף מרכזי בהגייה ותכנון של מבצע "רביב", פשיטה משוריינת של צה״ל בחוף המצרי, שנועדה לפגוע ביעדים צבאיים ולהמחיש את יכולת הפעולה ההתקפית של ישראל מעבר לתעלת סואץ. שלמה שימש כסגן המפקד בפעולה נועזת זו.

בראשית שנות השבעים התנדב לשרת במפקדת פיקוד הדרום תחת אריאל שרון, ומילא את תפקיד מפקד מחלקת המודיעין המרחבית בדרגת רב-סרן. בתפקידו זה יזם את הקמת יחידת "רימון", יחידת סיור שהפעילה שיטות לחימה בלתי שגרתיות והייתה אמונה על פגיעה במבוקשים ברצועת עזה.

בשנת 1972 שלמה נפצע באורח קשה בתאונת דרכים. למרות זאת, הוא פיקד במלחמת יום הכיפורים באוקטובר 1973 על גדוד המילואים 112, שפעל נגד יחידות קומנדו מצריות במרחב שלמה שבדרום סיני.

בשנת 1975 השתחרר שלמה משירות הקבע בדרגת סגן-אלוף. הוא שב לשרת במילואים במהלך מבצע שלום הגליל בשנת 1982.

מאז שנות השישים, אחרי שעזב את כפר יחזקאל, התגורר בשכונת אבו-תור שבירושלים. עם השנים הפך ביתו למרכז של הבוהמה הירושלמית והתקיימו בו כינוסים רבי-משתתפים, שאליהם הגיעו אנשי רוח וצבא. המשורר הלאומי חיים גורי נהג לומר על שלמה כי הוא "ספרא וסייפא". במקביל, לאורך השנים, שלמה נקרא לייעץ בענייני ביטחון לאישי צבא בכירים בישראל ובעולם.

שלמה נשא לאישה את אילנה, ונולדו להם שלושה ילדים: מיה, אילאיל ודויד.

ילדיו סיפרו על הידע הנרחב שלו: "אבא ממש לא עונה על ההגדרה של 'קונבנציונלי'... אבא היה בעל ידע רחב בצורה בלתי רגילה. כל בקשה לעזרה בשיעורי הבית הפכה להרצאה רחבת יריעה על היסטורה, ספרות, ואידיאולוגיה".

מאז פרישתו מהצבא ועד יום מותו המשיך שלמה לפעול במסירות בזירה האזרחית והציבורית למען עתידה וערכיה של מדינת ישראל.

שלמה באום נפטר ביום כ"ט בטבת תשנ"ט (17.1.1999). בן שבעים וחצי בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין גבעת שאול-הר המנוחות בירושלים. הותיר אחריו אישה, שתי בנות ובן.

על שמו נקרא רחוב בשכונת הר חומה שבירושלים.