בנם של נעימה ודוד. נולד ביום י"ז באייר תש"א (14.5.1941) בעיראק.

אליהו גדל בעיר רמאדי שבמרכז עיראק ובה למד והתחנך. כבר בגילו הצעיר נחשף לפרעות ולרדיפת הקהילה היהודית שנעשו בחסות השלטון המקומי. בגיל עשר, שלוש שנים לאחר הקמת המדינה, עלה לארץ יחד עם בני משפחתו במבצע "עזרא ונחמיה".

בהגיעה לישראל, שוכנה המשפחה במעברה סמוך למושבה נחלת יהודה (כיום חלק מראשון לציון). בהמשך עברה המשפחה לשכונת גורדון בשיכון המזרח בראשון לציון, ואליהו למד בבית הספר "חביב" בעיר – בית הספר העברי הראשון בישראל. כעבור כמה שנות לימוד נאלץ להפסיק את לימודיו כדי לסייע בפרנסת המשפחה.

בשנת 1960 התגייס לצה"ל ושירת בחיל השריון במשך שלוש שנים. במהלך שירותו הוכשר גם כנהג אמבולנס.

לאחר שחרורו מצה"ל החל לעבוד בחברת "הכוח" כנהג משאית, והיה אחראי על הובלת חומרי גלם לסלילת הכבישים בנגב. אחרי מלחמת ששת הימים ביוני 1967 עסק בהובלת חומרי גלם לקו המעוזים שנבנה בסיני, שטח שעבר לשליטת ישראל. הוא עבד בחברה כעשר שנים, ואחר כך הקים עסק עצמאי.

בשנת 1968 נשא לאישה את ברכה, ובמרוצת השנים נולדו להם ארבעה ילדים: איילת, יעקב, אבישי ודוד. לאורך שנותיו השקיע את כל מרצו וכוחו בהצלחת העסק, ולמרות השעות הרבות בעבודה הקפיד לבלות כמה שיותר במחיצת משפחתו.

בשנים מאז שחרורו משירות סדיר שירת אליהו במילואים במערך הג"א (הגנה אזרחית, לימים פיקוד העורף), מהן כשמונה שנים בתפקיד של נהג אמבולנס. הוא מילא את תפקידו במסירות, בחריצות ובהתמדה.

בינואר 1991, בעיצומה של מלחמת המפרץ הראשונה בין קואליציה בראשות ארצות הברית לעיראק, במהלכה נורו טילים רבים מעיראק לישראל, גויס לשירות מילואים. ביום 29.1.1991, במהלך שירותו, לקה אליהו בליבו, התמוטט ומת.

רב-טוראי אליהו רחמים נפל בעת שירותו ביום י"ד בשבט תשנ"א (29.1.1991). בן חמישים בנופלו. הובא למנוחות בבית העלמין הצבאי בראשון לציון. הותיר אחריו אישה, בת ושלושה בנים, שמונה אחים ואחיות.

אליהו מונצח באנדרטה לזכר בני ראשון לציון שנפלו במערכות ישראל, בבית יד לבנים בראשון לציון ובאנדרטה לזכר נופלי פיקוד העורף שהוקמה ברמלה.