נולד ביום כ"ג בתשרי תרצ"ט (18.10.1938) ברומניה. בן הזקונים של לובה ויעקב לייב יהודה, אחיהם הצעיר של יוסף, יצחק ומשה.
מנשה, שאוהביו כינוהו "ג'ינג'י" או "מנש", בא לעולם כשנה לפני שפרצה מלחמת העולם השנייה, ואת אימי השואה חווה על בשרו.
ב-1940, עם הצטרפותה של רומניה למדינות הציר הוחמר מאוד מצבם של יהודי רומניה וזה התבטא, בין השאר, בהפקעת נכסיהם, בסילוקם מכל שטחי החיים, ואף בפרעות ובמעשי רצח. במאי 1941 נחקק חוק שחייב את יהודי רומניה בעבודות כפייה. אימו של מנשה נשלחה לעבודות כפייה ברומניה, ואביו נשלח לעבודה אל מחוץ למדינה.
המשפחה שרדה את השואה, ובשנת 1950 עלתה לארץ. הם נקלטו במושב הדתי חמֶ"ד (חיילים משוחררים דתיים) שליד אור יהודה – מושב שהוקם באותה שנה בידי חיילים דתיים, עולים מרומניה ופולין.
מנשה בגר והתגייס לצה"ל, הוצב בחיל ההספקה (לימים: חיל התחזוקה; כיום: חיל הלוגיסטיקה) ושירת בתפקיד תומך לחימה.
אחרי שירותו נישא לשרה, והם עברו לגור בכפר שמואל שבשפלה, שם נולדה בתם רונית.
בשנות השבעים התגרש. אחר כך נישא בשנית, לוורדה. הם בנו את ביתם בהוד השרון, שם נולדו ילדיהם רויטל, פזית, יעקב ואור. מנשה היה איש משפחה מסור וחם, אב פעיל, דואג ואכפתי, ומעורב מאוד בחיי הילדים. בצעירותם, נהג להמתין להם בציפייה ליד החלון כדי לראותם חוזרים מבית הספר או מבילויי אחר הצהריים; וכאשר בגרו, והחלו להוציא רישיון נהיגה בזה אחר זה, הקפיד לוודא שחזרו בשלום מנסיעותיהם. "בימי שישי תמיד התעוררנו לריחות הבישולים של אבא," סיפרו בגעגוע, ואמרו כי היה בין האבות היחידים שהסיע תמיד לאן שצריך, דיבר עם המורים של ילדיו, ותיעד מסיבות ואירועים במצלמה שלו.
מנשה לחם בכל מלחמות ישראל מאז מבצע "קדש" (מלחמת סיני, נובמבר 1956), מלחמת ששת הימים (יוני 1967), מלחמת יום הכיפורים (אוקטובר 1973), מלחמת ההתשה (1968–1970) ומבצע "שלום הגליל" (של"ג; קיץ 1982) – במסגרת שירות המילואים.
במלחמת של"ג נפצע ולאחר תהליך החלמה ושיקום שוחרר והוכר כנכה צה"ל.
מנשה בחר בדרך האהבה; אהב את הבריות, אהב בעלי חיים – ובייחוד את כלבתו, שהייתה כרוכה אחריו. אהב את הטבע, וטיפח בגאווה רבה את גינת הירק שבחצר ביתו. אהב לאסוף בולים מכל העולם ובביתו החזיק עשרות אלבומי בולים, חלקם נדירים ביותר ואף ללא חותמת של משלוח. אהב את עבודת השם, אך נתן לילדיו יד חופשית לבחור כיצד לנהל את חייהם-שלהם, ומעולם לא כפה עליהם את דרכו.
חוש הומור, דרך ארץ ונועם הליכות היו המצפן שעל פיו פעל; עיני התכלת שלו הקרינו שמחת חיים ואופטימיות – תכונות שהפכו אותו לאבן שואבת ולעמוד תווך חברתי. למרות – ואולי בגלל כל שעבר בחייו – כשורד שואה, כעולה חדש, כלוחם במלחמות ישראל וכמי שנפצע ונותר נכה – הדחיק את כאביו ואת זיכרונות העבר ומעולם לא התלונן. יתר על כן, הרבה במעשי חסד ונתינה, השקיע ממרצו בעזרה לזולת ובפעולות התנדבות ובמשך שנים כיהן כגזבר בית הכנסת בעירו. "לעיתים קרובות, כשצעד ברחובות הוד השרון," סיפרה בתו רויטל, "עצרו אותו לדיבור, לעצה, לקפה. תמיד כשקראו לו הוא בא, במאור פנים, בחפץ לב, ותמיד עשה כמיטב יכולתו לשפר ולסייע לכל מבקש."
מנשה שפירא נפטר ביום כ"ז בשבט תשס"ה (6.2.2005). בן שישים ושבע בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין "נווה הדר" שבהוד השרון. הניח אישה, שלוש בנות, שני בנים, נכדים ואחים. על מצבתו נחקקו משפטים המורכבים מאותיות שמו ושאפיינו אותו: "מצא חן וחסד בעיני רואיו; נעים הליכות ומשכין שלום; שומר דרכיו ומוצא פיו; הודה לבוראו על מה שזכה".
מנשה הנחיל לילדיו את מורשת האהבה והמשפחתיות, והקשרים בין ילדיו, הגם שנולדו מאימהות שונות, נותרו קרובים והדוקים גם בקרב הדור הצעיר.
כתבו ילדיו: "לאבא הייתה נוכחות שקטה ומאירת פנים שנתנה לנו, הילדים, ביטחון, ושלחה אהבה בכל דרך אשר בחרנו. עד היום הוא מלווה אותנו בשיחות, במחשבות ובזיכרונות. הבדיחות שנהג להשמיע בארוחות שישי ובהזדמנויות שונות, עודן מעלות על פנינו חיוך."
באתר יד ושם שמור דף ניצול על שם מנשה, הכולל מסמכים מרומניה בשפה הגרמנית.
"מורשתו ודרך חייו ממשיכים ומתקיימים באמצעות נכדיו וילדיו", כתבו בני המשפחה, "משהו ממך לעד איתנו ובליבנו".